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弧度制

2015年12月31日 09:14:44 访问量:394

2014-2015数学学案           编号:1

制作人:

孙长利

审核人:

邵慧

制作时间:

2015.02.27

 1.1.2 弧度制

【课标要求】

(1)了解弧度概念(2)能熟练进行弧度与角度互化

课前预习案

1.角的单位制

(1)角度制:规定周角的________为1度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.

(2)弧度制:把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作________.

(3)角的弧度数求法:如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么l,α,r之间存在的关系是:__________;这里α的正负由角α的____________________决定.正角的弧度数是一个________,负角的弧度数是一个________,零角的弧度数是______.

2.角度制与弧度制的换算

角度化弧度

弧度化角度

360°=____ rad

2π rad=____

180°=______ rad

π rad=______

1°=______rad≈0.017 45 rad

1 rad=____≈57.30°

3.扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R,弧长为l,α (0<α<2π)为其圆心角,则

       度量单位

类别

α为角度制

α为弧度制

扇形的弧长

l=________

l=______

扇形的面积

S=________

S=________=________

 

课中探究案

知识点一 角度制与弧度制的换算

例1(1)把112°30′化成弧度;(2)把-化成角度.

 

 

 

 

 

 

 

 

回顾归纳 将角度转化为弧度时,要把带有分、秒的部分化为度之后,牢记π rad=180°即可解.把弧度转化为角度时,直接用弧度数乘以即可.

变式训练1 将下列角按要求转化:

(1)300°=________rad;(2)-22°30′=________rad;

(3)=________度.

知识点二 利用弧度制表示终边相同的角

例2 把下列各角化成2kπ+α (0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角:

(1)-1 500°; (2); (3)-4.

 

 

 

 

 

 

 

回顾归纳 在同一问题中,单位制度要统一.角度制与弧度制不能混用.

变式训练2 将-1 485°化为2kπ+α (0≤α<2π,k∈Z)的形式是________.

知识点三 弧长、扇形面积的有关问题

例3 已知一扇形的周长为40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?

 

 

 

 

 

 

 

 

回顾归纳 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键,有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题,将扇形面积表示为半径的函数,转化为r的二次函数的最值问题.

变式训练3 一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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1.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.

2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°=π rad”这一关系式.

易知:度数× rad=弧度数,弧度数×°=度数.

3.在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,具体应用时,要注意角的单位取弧度.

 

 

课后训练案

1.与30°角终边相同的角的集合是(  )

A.B.{α|α=2kπ+30°,k∈Z}

C.{α|α=2k·360°+30°,k∈Z}D.

2.集合A=与集合B={α|α=2kπ±,k∈Z}的关系是(  )

A.A=B                                                                        B.A?B

C.B?                                                                      D.以上都不对

3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是(  )

A.2                                                                                      B.sin 2

C.                                                                                      D.2sin 1

 

 

4.已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},B={α|-4≤α≤4},则A∩B等于(  )

A.?

B.{α|-4≤α≤π}

C.{α|0≤α≤π}

D.{α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}

5.扇形圆心角为,半径长为a,则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为(  )

A.1∶3  B.2∶3  C.4∶3  D.4∶9

6.若扇形圆心角为216°,弧长为30π,则扇形半径为________.

7.若2π<α<4π,且α与-角的终边垂直,则α=________.

8.若角α的终边与角的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α=____________.

9.用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界,如图所示).

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10. 如右图,已知扇形OAB的中心角为4,其面积为2 cm2,求扇形的周长和弦AB的长.

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学习随想

 

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编辑:赵奎
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