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任意角三角函数

2015年12月31日 09:16:59 访问量:333

2014-2015数学学案           编号:2

制作人:

孙长利

审核人:

李吉龙

制作时间:

2015.02.28

 1.2.1 任意角的三角函数(一)

【课标要求】

1)会用定义球任意角三角函数

2)认识三角函数定义域,三角函数值得符号,理解公式一

课前预习案

1.任意角三角函数

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(1)在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:

①y叫做α的______,记作______,即sin α=y;

②x叫做α的________,记作______,即cos α=x;

叫做α的______,记作______,即tan α= (x≠0).

对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.

(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则sin α=______,cos α=______,tan α=______.

2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

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3.诱导公式一

终边相同的角的同一三角函数的值________,即:

sin(α+k·2π)=________,cos(α+k·2π)=________,

tan(α+k·2π)=________,其中k∈Z.

自主探究

利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值.

角α

0

π

π

π

π

π

sin α

0

1

0

-1

cos α

1

0

-1

0

tan α

0

1

-1

0

课中探究案

知识点一 利用定义求角的三角函数值

例1 已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α、cos α、tan α的值.

 

 

 

 

 

 

回顾归纳 利用三角函数的定义,求一个角的三角函数,需要确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意,当点的坐标含有参数时,应分类讨论.

变式训练1 已知角θ的终边上一点P(x,3) (x≠0),且cos θ=x,求sin θ,tan θ.

 

 

 

知识点二 判断三角函数值的符号

例2 判断下列各式的符号:

(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角);

(2)sin 285°cos(-105°);

(3)sin 3·cos 4·tan.

 

 

 

 

 

 

回顾归纳 准确确定三角函数值中角所在象限是基础,准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆.

变式训练2 (1)若sin αcos α<0,则α是第______象限角.

(2)代数式:sin 2·cos 3·tan 4的符号是________.

知识点三 诱导公式一的应用

例3 求下列各式的值.

(1)cos +tan

(2)sin(-1 320°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°+tan 495°.

 

 

 

 

 

 

 

回顾归纳 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数,也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数,即实现了“负化正,大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.

变式训练3 求下列各式的值.

(1)cos+tan

(2)sin 630°+tan 1 125°+tan 765°+cos 540°.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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1.三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.

2.符号sin α、cos α、tan α是一个整体,离开“α”,“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义,更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积.

3.诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等.

作用是把求任意角的三角函数值转化为求0~2π(或0°~360°)角的三角函数值.

课后训练案

1.sin 390°等于(  )

A.                              B.-                              C.-                              D.

2.若sin α<0且tan α>0,则α是(  )

A.第一象限角                                            B.第二象限角

C.第三象限角                                            D.第四象限角

3.当α为第二象限角时,的值是(  )

A.1                              B.0                             C.2                              D.-2

4.角α的终边经过点P(-b,4)且cos α=-,则b的值为(  )

A.3                              B.-3               C.±3                              D.5

5.若θ为第一象限角,则能确定为正值的是(  )

A.sin                 B.cos                 C.tan                 D.cos 2θ

6.若角α的终边过点P(5,-12),则sin α+cos α=________.

7.若α是第二象限角,则点P(sin α,cos α)在第______象限.

8.5sin 90°+10 cos 180°-3 sin 270°+4 cos 420°=________.

9.已知角α的终边经过点(3m-9,m+2),且sin α>0,cos α≤0,求m的取值范围?

 

 

 

 

 

 

 

 

10.已知角α终边上一点P(-,y),且sin α=y,求cos α和tan α的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

学习随想

 

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编辑:赵奎
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